第602章 朗兰兹纲领
1979年，罗伯特·朗兰兹突发奇想，觉得自己能统一整个数学。
“数学之间是可以联系的吧？”罗伯特·朗兰兹陷入深深的思索。
“一定的，数学是可以全部被统一的，任何一种类型的数学它背后的本质一定相同。”
对于朗兰兹来说，把每个数学模型背后真正的本质给找出来，并证明是同一个东西即可。
数论好理解。自守形式只不过是三角函数和椭圆函数的推广而已。群里最后也要转化成那种连续群来作为一个单位。
如果浓缩的去说，那就是将群表示论带入到与自守形式理论和数论中。
为了找到质数中的规律，比如它们出现的频率，数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来，质数就像一个密码，当你找到正确的阅读密钥时，它就变成了令人愉悦的信息。质数看起来非常随机，但通过朗兰兹纲领，就会发现它们有着一个非常复杂的结构，能够与各种其他事物联系起来。
非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究，得出把它们统一在一起的朗兰兹纲领，并首先证明GL(2)的情形，这个纲领推广了阿贝尔类体论、赫克(Hecke)理论、自守函数论以及可约群的表示理论等。
数论研究的数字之间的算法关系，被认为是『最纯』的数学领域;调和分析是数学的一个重要分支，研究及扩展傅里叶级数和傅里叶变换。之前，这两个领域被认为是毫无关联的，而它们之间的联系其实有着深远的影响，被数学家用来解答与质数性质有关的问题。同时，朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。
有一个与质数结构相关的问题是:『哪些质数能用两个质数的平方和表示。』在17世纪，数论学家发现，所有能用两个质数的平方和表示的质数都有一个共同性质，当它们除以4 时，余1。这一发现揭示了质数的一种隐藏结构。到了18 世纪末期，数学家高斯(Gauss)对这一奇妙的关联进行了概括，它的『互反律』用公式将那些等于两个质数的平方和的质数，与除以4 余1这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中，他在高斯发现的互反律基础上，提出了更广泛的延伸。
高斯的定律适用于指数不高于2 的二次方程。但朗兰兹认为，在三次、四次等高阶方程中产生的质数，应该与调和分析成互反关系。
朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起，并认为这两者之间应该存在互反关系。因此，我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中，来表示哪些质数出现在特定的情况中。
朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向，它联系了三种来源各异的数学对象:伽罗瓦表示(算术对象)、自守表示(分析对象)和代数簇的各种上同调理论(几何对象)，使得相应的三种不变量[阿廷L函数、自守L 函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) L 函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆，怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor)等证明的谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性(functoriality)猜想，蕴含了很多著名的猜想，如阿廷猜想、拉马努金猜想、佐藤-塔特(Misaki-Tate)猜想等。
其中，迹公式是研究朗兰兹纲领的一个重要工具。可见，研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。
自从1990 年以来，有3位数学家的工作因为部分解决了朗兰兹纲领中的猜想，从而获得了菲尔兹奖，这足以看出朗兰兹纲领的重要性：
第一位乌克兰数学家弗拉基米尔∙德林费尔德(Vladimir Drinfeld)。由于他在朗兰兹纲领和量子群这两个领域取得了决定性的突破并促进了一大批研究的进展，他于1990 年获得菲尔兹奖。
第二位洛朗∙拉佛阁(Laurent Lafforgue)。他证明了与函数体情形相应的整体朗兰兹纲领，于2002 年获得了菲尔兹奖。拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。
第三位吴宝珠。『通过引入新的代数-几何学方法，吴宝珠证明了朗兰兹纲领自守形式中的基本引理』
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